文|创瞰巴黎 Peter Tankov

编辑|Meister Xia

导读

Black-Scholes公式是一个用于计算期权价格的数学公式，由Fischer Black和Myron Scholes于1973年发表。数学家发现随机微积分是理解Black-Scholes理论的最佳工具，并在法国建立了第一批量化金融教育项目。Black-Scholes公式具有怎样的优势和缺陷？它对期权交易带来哪些影响？

一览：

• 50年前，Fischer Black和Myron Scholes共同描述了一种判断看涨期权价格的方法。
• 基于动态套期保值策略的Black-Scholes公式使期权交易的风险控制成为可能，从而促进了衍生品市场的发展。
• 如今，期权市场的风险管理仍然基于Black和Scholes首创的动态对冲原理，Black-Scholes公式虽然很少被直接使用，但投资者仍然能够依托这一公式去表达更为复杂的想法。
• 法国数学界在金融数学的发展中发挥了关键作用。

法国致力于数学人才的培养，大学与金融机构也开展了紧密合作，在这样的背景下，法国的高等学府首创了诸多金融数学课程，这些课程至今仍然代表着该领域的卓越水平。

50年前，Fischer Black和Myron Scholes合著并发表了一篇具有里程碑意义的论文——《期权定价和公司债务》（The Pricing of Options and Corporate Liabilities），文内描述了一种判断看涨期权价格的方法。看涨期权是一种金融合约，它赋予持有者在未来某个特定日期，以特定价格购买某种金融资产（标的资产）的权利（但不是义务）。尽管这一公式十分重要，但它并非该论文的主要贡献，毕竟，在Black-Scholes公式推出之前，市场上已有类似理论，其中以Louis Bachelier于1900 年发表的论文《投机理论》“Théorie de la Spéculation”最为有名。《期权定价和公司债务》的主要贡献，是Black和Schole论证这一公式所使用的方法。

要想更好理解他们的论证，我们不妨先回顾一下什么是看涨期权。看涨期权的价格显然取决于标的资产的价格，后者价格的高低会直接影响前者。随着时间的推移，资产的价格会上下波动，期权价格也会随之波动。从理论上来说，通过动态购买资产，投资者可以建立起一个投资组合，让其价值波动与期权价格的波动保持一致。这样，即便投资者已经卖出期权，但只要他持有这种动态投资组合，其头寸将免受市场波动的影响，因此基本可以规避全部风险。

“Black-Scholes理论的普及可以提高期权交易的确定性，并更好地实现风险管控。”

Black和Scholes理论的关键在于，如果头寸无风险，那么该头寸的收益应该等同于无风险资产（如计息债券）的收益。这一观点背后的概念叫做“无套利”。如果投资者的无风险头寸收益与利率不同，那么投资者便可在不承担任何风险的情况下迅速致富。认识到对冲投资组合的收益等于利率之后，Black和Scholes推导出了期权价格方程，投资者可以通过公式求解。

Black和Scholes使用了一个期权对冲策略，这对公式而言可谓是“画龙点睛”：投资者按Black和Scholes公式给出的价格卖出期权后，可以立即制定一个策略来最大程度地降低，甚至完全消除与该头寸相关的风险。在Black-Scholes公式推出之前，市场上并没有一套系统性的方法来计算出类似的动态套期保值策略，也正因为此，衍生品市场的发展始终无法提速。

01 Black-Scholes公式的成长史

随着Black-Scholes公式知名度的不断提升，期权交易的安全性得到了显著改善，风险也被大幅降低。这推进了期权交易的扩大和期权市场的建立，如芝加哥期权交易所（1973年建立）、巴黎期权交易市场（1987年建立）等。

Black-Scholes公式的成长史充满了动荡与挫折。1987年发生的金融危机给它敲响了第一次警钟：该公式背后的一个关键假设是“连续时间无规行走”（continuous time random walk），这意味着资产价格在短时间内（如一天）出现大幅波动的可能性非常小。然而，1987年10月19日这一天（著名的“黑色星期一”），道琼斯工业平均指数（当时美国经济的主要指数）下跌了22.6%，令旨在防范此类暴跌的看跌期权卖家损失惨重。很明显，当市场运行状况良好时，Black-Scholes公式能为投资者挡住大部分风险，但它无法抵御黑色星期一这种极端事件的冲击。

为了应对动荡，金融市场决定调整公式参数：与捕捉市场日常微小波动的期权相比，针对市场崩溃提供保护的期权现在会以更高的波动率参数定价。由于波动率图在交易员的屏幕上会呈现类似微笑的形状，因此这种效应被称为“波动率微笑”。自那之后，Black-Scholes公式又出现了更为复杂的扩展：局部波动率模型、随机波动率模型、粗略波动率模型等。

当然，Black-Scholes公式也受到过一些学者的质疑，他们认为，模型多样化是提升风险管理的必备要素，例如，可以考虑Benoit Mandelbrot提出的分形几何模型。然而，由于这些模型无法进行有效的对冲，它们并未在金融业得到大规模推广。期权市场的风险管理仍然基于Black和Scholes首创的动态对冲原理，Black-Scholes公式虽然很少被直接使用，但投资者仍然能够依托这一公式去表达更为复杂的想法。

02 数学与金融

鉴于Black-Scholes公式源自一个方程，人们难免会想到物理学中用于描述热量在固体中传播的“热方程”。因此，第一批“矿工”（Quant）来自物理学背景似乎不足为奇。然而，数学家很快意识到，最适合开发期权定价理论的不是物理学家，而是他们自己。1979年，Harrison和Kreps发表了一篇描述资本市场投机行为的论文，1982年，Harrison又和Pliska发表了一篇有关随机分析和连续交易的论文，这两篇里程碑式的论文发表后，随机分析开始被视为描述套利、动态对冲以及最终期权定价的完美工具。在日本数学家伊藤清（Kyosi Ito）提出伊藤积分后，巴黎和斯特拉斯堡的概率学派又进一步扩充了这一模型。可以说，诸多数学家都在金融公式中找到了存在感和归属感，毕竟，这里不仅充满了有趣的研究课题，还有充满求知欲的学生，以及可靠的合作伙伴。自那之后，数学界和金融界开展了旷日持久的合作：数学家会帮助交易员评估期权，金融界也在不断为数学家们注入灵感。该合作进一步推动了概率论新分支的出现。

“自那之后，数学界和金融界开展了旷日持久的合作。”

不幸的是，部分交易者高估了数学模型的威力，误以为无论多复杂的期权都能实现完美定价和对冲。2008年全球金融危机爆发时，有些人认为数学家难辞其咎，将罪名扣到了数学模型上，认为这些“大规模杀伤性武器”导致了危机的发生。但事实上，危机的起因并不是数学研究太多，而是太少。当时，银行用来为担保债务凭证（一种对危机负有主要责任的金融衍生品）定价的公式过于简单，与这些复杂产品相关的诸多风险都被忽略了。

此次金融危机不仅撼动了金融业，也为金融数学带来了深刻的变化。后者的研究重点不再是开发复杂的期权定价模型，而是转向更为稳健的投资和风险管理，如金融系统的系统性失灵风险。

03 法国的贡献

20世纪80年代末，巴黎一跃成为一个拥有众多银行和新兴期权市场的国际金融中心。大批世界顶尖的概率、随机分析以及随机控制专家都居住在此。另一方面，法国高等教育体系中的“大学”（Grandes Ecoles）非常重视数学方面的综合培养，而且许多法国学生都热衷于研究数学的新应用。

因此，20世纪80年代末的巴黎成为了数学发展的沃土。在此，金融数学得到了大力支持、定量金融走进了学校讲堂，大学与金融机构之间也开展了多项合作。这一新领域吸引了多位法国知名概率学家的兴趣。其中包括Nicole El Karoui、Hélyette Geman、Nicolas Bouleau、Damien Lamberton和Bernard Lapeyre。

1990年，朱西厄数学研究所（现索邦大学）的概率论硕士课程中开设了金融数学方向。该专业吸引了大量来自巴黎综合理工学院和巴黎高科路桥大学等一流工科院校的学生，他们不仅在此学习了Black-Scholes理论，还运用了别具法国特色的随机分析模型。大约在同一时期，巴黎高科路桥大学开设了金融数学课程。也正因为此，D. Lamberton和B. Lapeyre于1992年出版了合著的《随机微积分在金融领域的应用》（Calcul stochastique appliquée à la finance）一书。1997年，Nicole El Karoui成为了巴黎综合理工学院的教授，并在应用数学专业开设了“金融学中的随机方法”课程。

在次贷危机爆发前的10年里，上述专业和其他相关专业的学生人数出现了激增，2006年的法国《世界报》（Le Monde）甚至称，“全球每三个经济学家中，就有一个是法国人”。金融危机爆发后，由于银行招聘岗位暂时缩减，学生入学率在一定程度上有所下降。此外，教学计划的重点也从期权定价转向了风险管理和监管。如今，法国“矿工”的增速虽已趋于平缓，但巴黎综合理工大学的应用数学专业，以及历史悠久的概率与金融硕士课程（现由巴黎综合理工学院和索邦大学共同管理）仍然代表着该领域的卓越水平。